二次函数综合题解题思路(二十篇)
发表时间：2025-11-26在日常学习中，我们积累了许多知识点，特别是教科书和考试中的内容。然而，真正有用的知识点值得深入探讨。以下是小编整理的关于二次函数综合题的解题思路，希望对大家有所帮助。
⬔ 二次函数综合题解题思路 ⬔
相似三角形
1、如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例。
2、如果a/b=c/d，那么ad=bc；如果ad=bc，且bd≠0，那么a/b=c/d；如果a/b=c/d，那么（a+b）/b=（c+d）/d。谁都不能为0。为0无意义。
3、一般的，如果三个数a，b，c满足比例式a：b=b：c，则b就叫做a，c的比例中项。（如果是线段的话，只能取正的，如果是数，正负都可以）
4、黄金分割：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是（√5—1）/2，取其前三位数字的近似值是0.618。
5、证明三角形相似的方法：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。照我们老师的方法来说就是A字型和8字型。
（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
（5）对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似。
考点梳理：
①相似三角形的性质和判别方法，是重点。
②相似多边形的认识，黄金分割的应用。
③相似形与三角形，平行四边形的综合性题目是难点。
知识点1、相似三角形的相关概念
1)、相似三角形的概念:对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。
三角形相似具有传递性。
2)、相似比的概念:相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。
3、相似三角形与全等三角形的关系:相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定 是相似三角形。若两个相似三角形的相似比是1,则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。
知识点2、相似三角形的判定
判定1:如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
判定2:如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
判定3:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定4:直角三角形被斜边上的'高分成的两个直角三角形与原三角形都相似(此知识常用，用时需要证明)。
知识点3、解题中判定相似三角形的思路
有平行截线——用平行线的性质，找“等角”
有一对等角——找“另一对等角”或“夹边对应成比例”
有两边对应成比例——找“夹角相等”或“第三边也对应成比例”或“有一对直角”
直角三角形——找“一对锐角相等”或“两直角边对应成比例”
等腰三角形——找“顶角相等”或“一对底角相等”或“底和腰对应成比例”
知识点4、相似三角形解题常见思路针对不同的类型，在解答时应掌握以下几种常见思路：
（1）在判别两个三角形相似时，应该注意利用图中已有的公共角、对顶角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用。
（2）寻找相似三角形的一般方法：
①通过作平行线构造相似三角形或构造成比例的线段；
②利用图形特征（如有公共边、公共角的两个三角形）赵相似三角形；
③依据基本图形对图形进行分解、组合；
④做辅助线构造相似三角形；
⑤利用分别等于中间比的两个比相等实现对等比进行转移。
以上判别三角形相似的方法有时单独使用，有时需要综合运用，使其具备应有的判定条件。
相似三角形(7个考点)
考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小
考核要求：(1)理解相似形的概念;(2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小.
考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理
考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算.
注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用.
考点3：相似三角形的概念
考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义.
考点4：相似三角形的判定和性质及其应用
考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质，并能较好地应用.
考点5：三角形的重心
考核要求：知道重心的定义并初步应用.
考点6：向量的有关概念
考点7：向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算
考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算
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直角三角形的判定方法：
判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）
矩形知识点
1、矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
(1)具有平行四边形的一切性质
(2)矩形的四个角都是直角
(3)矩形的对角线相等65iN.coM
(4)矩形是轴对称图形
3、矩形的判定
(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形(2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
(3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
4、矩形的面积：S矩形=长×宽=ab
正方形知识点
1、正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质;
(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等;
(3)正方形的`两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角;
(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴;
(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形;
(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3、正方形的判定
(1)判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是矩形，再证有一组邻边相等。
先证它是菱形，再证有一个角是直角。
(2)判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：
先证明它是平行四边形;
再证明它是菱形(或矩形);
最后证明它是矩形(或菱形)。
锐角三角比(2个考点)
考点1：锐角三角比(锐角的正弦、余弦、正切、余切)的概念，30度、45度、60度角的三角比值.
考点2：解直角三角形及其应用
考核要求：(1)理解解直角三角形的意义;(2)会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形.
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全套教科书包含了课程标准(实验稿)规定的“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的内容，在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合，使它们形成一个有机的整体。
九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容，学习内容涉及到了《课程标准》的四个领域。本册书内容分析如下：
第21章二次根式
学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。“二次根式”一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。
在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论：
注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。“二次根式的乘除”一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式的乘除法则进行运算;一条是由二次根式的乘除法则得到
并运用它们进行二次根式的化简。
“二次根式的加减”一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。
第22章一元二次方程
学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程——一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程，讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。
本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念，给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念，“22.2降次——解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。
(1)在介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。
(2)在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的`一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。
(3)在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。
“22.3实际问题与一元二次方程”一节安排了四个探究栏目，分别探究传播、成本下降率、面积、匀变速运动等问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
第23章旋转
学生已经认识了平移、轴对称，探索了它们的性质，并运用它们进行图案设计。本书中图形变换又增添了一名新成员――旋转。“旋转”一章就来认识这种变换，探索它的性质。在此基础上，认识中心对称和中心对称图形。
“23.1旋转”一节首先通过实例介绍旋转的概念。然后让学生探究旋转的性质。在此基础上，通过例题说明作一个图形旋转后的图形的方法。最后举例说明用旋转可以进行图案设计。
“23.2中心对称”一节首先通过实例介绍中心对称的概念。然后让学生探究中心对称的性质。在此基础上，通过例题说明作与一个图形成中心对称的图形的方法。这些内容之后，通过线段、平行四边形引出中心对称图形的概念。最后介绍关于原点对称的点的坐标的关系，以及利用这一关系作与一个图形成中心对称的图形的方法。
“23.3课题学习图案设计”一节让学生探索图形之间的变换关系(平移、轴对称、旋转及其组合)，灵活运用平移、轴对称、旋转的组合进行图案设计。
第24章圆
圆是一种常见的图形。在“圆”这一章，学生将进一步认识圆，探索它的性质，并用这些知识解决一些实际问题。通过这一章的学习，学生的解决图形问题的能力将会进一步提高。
“24.1圆”一节首先介绍圆及其有关概念。然后让学生探究与垂直于弦的直径有关的结论，并运用这些结论解决问题。接下来，让学生探究弧、弦、圆心角的关系，并运用上述关系解决问题。最后让学生探究圆周角与圆心角的关系，并运用上述关系解决问题。
“24.2与圆有关的位置关系”一节首先介绍点和圆的三种位置关系、三角形的外心的概念，并通过证明“在同一直线上的三点不能作圆”引出了反证法。然后介绍直线和圆的三种位置关系、切线的概念以及与切线有关的结论。最后介绍圆和圆的位置关系。
“24.3正多边形和圆”一节揭示了正多边形和圆的关系，介绍了等分圆周得到正多边形的方法。
“24.4弧长和扇形面积”一节首先介绍弧长公式。然后介绍扇形及其面积公式。最后介绍圆锥的侧面积公式。
第25章概率初步
将一枚硬币抛掷一次，可能出现正面也可能出现反面，出现正面的可能性大还是出现反面的可能性大呢?学了“概率”一章，学生就能更好地认识这个问题了。掌握了概率的初步知识，学生还会解决更多的实际问题。
“25.1概率”一节首先通过实例介绍随机事件的概念，然后通过掷币问题引出概率的概念。
“25.2用列举法求概率”一节首先通过具体试验引出用列举法求概率的方法。然后安排运用这种方法求概率的例题。在例题中，涉及列表及画树形图。
“25.3利用频率估计概率”一节通过幼树成活率和柑橘损坏率等问题介绍了用频率估计概率的方法。
“25.4课题学习键盘上字母的排列规律”一节让学生通过这一课题的研究体会概率的广泛应用。
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教材分析
本节课主要内容包括：运用二次函数的最大值解决最大面积的问题，让学生体会抛物线的顶点就是二次函数图象的最高点（最低点），因此，可利用顶点坐标求实际问题中的最大值（或最小值）.在最大利润这个问题中，应用顶点坐标求最大利润，是较难的实际问题。
本节课的设计是从生活实例入手，让学生体会在解决问题的过程中获取知识的快乐，使学生成为课堂的主人。
按照新课程理念，结合本节课的具体内容，本节课的教学目标确定为相互关联的三个层次：
1、知识与技能
通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法。
2、过程与方法
通过对实际问题的研究，体会数学知识的现实意义。进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。渗透转化及分类的数学思想方法。
3、情感态度价值观
（1）通过巧妙的教学设计，激发学生的学习兴趣，让学生感受数学的美感。
（2）在知识教学中体会数学知识的应用价值。
本节课的教学重点是 “探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法”，教学难点是“如何将实际问题转化为二次函数的问题”。
实验研究：
作为一线教师，应该灵活地处理和使用教材。充分发挥教师自己的智慧，把学生置于教学的出发点和核心地位，应学生而动，应情境而变，课堂才能焕发勃勃生机，课堂上才能显现真正的活力。因此我对教材进行了重新开发，从学生熟悉的生活情境出发，与学生生活背景有密切相关的学习素材来构建学生学习的内容体系。把握好以下两方面内容：
（一）、利用二次函数解决实际问题的易错点：
①题意不清，信息处理不当。
②选用哪种函数模型解题，判断不清。
③忽视取值范围的确定，忽视图象的正确画法。
④将实际问题转化为数学问题，对学生要求较高，一般学生不易达到。
（二）、解决问题的突破点：
①反复读题，理解清楚题意，对模糊的信息要反复比较。
②加强对实际问题的分析，加强对几何关系的探求，提高自己的分析能力。
③注意实际问题对自变量 取值范围的影响，进而对函数图象的影响。
④注意检验，养成良好的解题习惯。
因此我由课本的一个问题转化为两个实际问题入手通过创设情境，层层设问，启发学生自主学习。
教学目标
1.知识与能力：初步掌握解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法，总结归纳出二次函数在闭区间上最值的一般规律，学会运用二次函数在闭区间上的图像研究和理解相关问题。
2.过程与方法：通过实验，观察影响二次函数在闭区间上的最值的因素，在此基础上讨论探究出解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律。
3.情感、态度与价值观：通过探究，让学生体会分类讨论思想与数形结合思想在解决数学问题中的重要作用，培养学生分析问题、解决问题的能力，同时培养学生合作与交流的能力。
教学重点与难点
教学重点：寻求二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律。
教学难点：含参二次函数在闭区间上的最值的求法以及分类讨论思想的正确运用。
学生学情分析
我所代班级的学生是高一新生， 他们在初中已学过二次函数的简单性质与图像，知道二次函数在 二次函数最值教学设计时在顶点处取得最大值或最小值，在前几节课又学习了函数的概念与表示、单调性与最值的相关知识，已经具备了本节课学习必须的基础知识。
教法分析
根据教学实际，我将本节课设计为数学探究课，在探究的过程中，借助于多媒体教学手段，让学生观察几何画板中的动态演示，通过对二次函数图像的“再认识”，探究二次函数在闭区间上的最值。同时为了配合多媒体的教学，准备了学案让学生配套使用。先让学生提前预习相关内容，对所要探究的问题有初步的了解，再在课堂上详细的探究，课后在学案上有相应的课后作业题让学生巩固所学知识。
教学过程
（一）复习旧知
回忆二次函数的图像与性质：
1. 图像:
2. 定义域:
3. 单调性:
4. 最值:
【设计意图】复习旧知，引入新课。
（二）自主探究
探究1：定轴定区间最值问题
分别在下列范围内求函数f(x)=x2-2x-3的最值：
规律总结：作出二次函数的图像，通过图像确定函数在给定区间上的最值。
【设计意图】
通过探究
1，让学生讨论探究定函数在定区间上最值的求解方法，并通过二次函数在闭区间上图像直观形象地观察、分析问题和解决问题。
（三）合作探究（含参二次函数最值求解问题 ）
探究2：动轴定区间最值问题
求函数f(x)=x2-2tx-3， t∈R在x∈[-2，2]上的最小值。
【设计意图】
通过探究2，让学生讨论探究动轴定区间上最小值的求解方法，并通过动态演示二次函数在闭区间上的`图像，让学生直观形象地观察、分析问题和解决问题。
变式训练：求函数f(x)=x2-2tx-3在x∈[-2，2] ，t∈R上的最大值。
【设计意图】
通过变式训练，让学生进一步体会动轴定区间上最大值的求解方法，同时归纳出动轴定区间最值问题求解的一般规律。
规律总结：移动对称轴，比较对称轴和区间的位置关系，再结合图像进行进行分类讨论，
注意做到“不重不漏”。
探究3：定轴动区间最值问题
求函数f(x)=x2-2x-3在x∈[t，t+2]，t∈R的最小值。
【设计意图】让学生分组讨论探究3的求解方法，使学生体会运动的相对性，从而类比探究2的过程与方法可以制定出解决问题3的方法。
变式训练：求函数f(x)=-x2+2x-3在x∈[t，t+2]， t∈R的最大值.
【设计意图】
通过变式训练，让学生进一步体会定轴动区间上最大值的求解方法，同时归纳出定轴动区间最值问题求解的一般规律。
规律总结：移动区间，比较对称轴和区间的位置关系，再结合图像进行分类讨论，注意做到“不重不漏”。
（四）知识小结
本节课研究了二次函数的三类最值问题:
(1) 定轴定区间最值问题；
(2) 动轴定区间最值问题；
(3) 定轴动区间最值问题.
核心思想是判断对称轴与区间的相对位置， 应用数形结合、分类讨论思想求出最值。
【设计意图】
归纳总结二次函数问题在闭区间上最值的一般解法和规律，完成本节课知识的建构。
（五）结束语
数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休！
(六)课后作业
1.二次函数最值教学设计1.分别在下列范围内求二次函数f(x)=x2+4x-6的最值。
2. 求函数f(x)=x2+2tx+2，t∈R在x∈[-5，5]上的最值。
3. 求函数f(x)=x2-2x+2在x∈[t，t+1]， t∈R的最小值。
【设计意图】
学生应用探究所得知识解决相关问题，进一步巩固和提高二次函数在闭区间上最值的求解方法与规律。
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一、说课内容：
九年级数学下册第27章第一节的二次函数的概念及相关习题 (华东师范大学出版社)
二、教材分析：
1、教材的地位和作用
这节课是在学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习二次函数的概念。二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解数形结合的重要思想。而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象做铺垫。所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。
2、教学目标和要求：
(1)知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。
(2)过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力.
(3)情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心.
3、教学重点：对二次函数概念的理解。
4、教学难点：抽象出实际问题中的二次函数关系。
三、教法学法设计：
1、从创设情境入手，通过知识再现，孕伏教学过程
2、从学生活动出发，通过以旧引新，顺势教学过程
3、利用探索、研究手段，通过思维深入，领悟教学过程
四、教学过程：
(一)复习提问
1.什么叫函数?我们之前学过了那些函数?
(一次函数，正比例函数，反比例函数)
2.它们的形式是怎样的?
(y=kx+b，ky=kx ，ky= ， k0)
3.一次函数(y=kx+b)的自变量是什么?函数是什么?常量是什么?为什么要有k0的条件? k值对函数性质有什么影响?
【设计意图】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解.强调k0的条件，以备与二次函数中的a进行比较.
(二)引入新课
函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。看下面三个例子中两个变量之间存在怎样的关系。
例1、
(1)圆的'半径是r(cm)时，面积s (cm2)与半径之间的关系是什么?
解：s=0)
例2、用周长为20m的篱笆围成矩形场地，场地面积y(m2)与矩形一边长x(m)之间的关系是什么?
解： y=x(20/2-x)=x(10-x)=-x2+10x (0
例3、设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。如果存款额是100元，那么请问两年后的本息和y(元)与x之间的关系是什么(不考虑利息税)?
解： y=100(1+x)2
=100(x2+2x+1)
= 100x2+200x+100(0
教师提问：以上三个例子所列出的函数与一次函数有何相同点与不同点?
(三)讲解新课
以上函数不同于我们所学过的一次函数，正比例函数，反比例函数，我们就把这种函数称为二次函数。
二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c (a0，a， b， c为常数) 的函数叫做二次函数。
巩固对二次函数概念的理解：
1、强调形如，即由形来定义函数名称。二次函数即y 是关于x的二次多项式(关于的x代数式一定要是整式)。
2、在 y=ax2+bx+c 中自变量是x ，它的取值范围是一切实数。但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值。(如例1中要求r0)
3、为什么二次函数定义中要求a?
(若a=0，ax2+bx+c就不是关于x的二次多项式了)
4、在例3中，二次函数y=100x2+200x+100中， a=100， b=200， c=100.
5、b和c是否可以为零?
由例1可知，b和c均可为零.
若b=0，则y=ax2+c;
若c=0，则y=ax2+bx;
若b=c=0，则y=ax2.
注明：以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式.
判断：下列函数中哪些是二次函数?哪些不是二次函数?若是二次函数，指出a、b、c.
(1)y=3(x-1)2+1 (2) s=3-2t2
(3)y=(x+3)2- x2 (4) s=10r2
(5) y=22+2x (6)y=x4+2x2+1(可指出y是关于x2的二次函数)
(四)巩固练习
1.已知一个直角三角形的两条直角边长的和是10cm。
(1)当它的一条直角边的长为4.5cm时，求这个直角三角形的面积;
(2)设这个直角三角形的面积为Scm2，其中一条直角边为xcm，求S关
于x的函数关系式。
【设计意图】此题由具体数据逐步过渡到用字母表示关系式，让学生经历由具体到抽象的过程，从而降低学生学习的难度。
2.已知正方体的棱长为xcm，它的表面积为Scm2，体积为Vcm3。
(1)分别写出S与x，V与x之间的函数关系式子;
(2)这两个函数中，那个是x的二次函数?
【设计意图】简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数。通过简单题目的练习，让学生体验到成功的欢愉，激发他们学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。
五、评价分析
本节的一个知识点就是二次函数的概念，教学中教师不能直接给出，而要让学生自己在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型的过程中，使学生感受函数是刻画现实世界数量关系的有效模型，增加对二次函数的感性认识，侧重点通过两个实际问题的探究引导学生自己归纳出这种新的函数二次函数，进一步感受数学在生活中的广泛应用。对于最大面积问题，可给学生留为课下探究问题，发展学生的发散思维，方法不拘一格，只要合理均应鼓励。
⬔ 二次函数综合题解题思路 ⬔
教学目标：
会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质，能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。
重点难点：
重点；用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。
难点：会运用二次函数知识解决有关综合问题。
教学过程：
一、例题精析，强化练习，剖析知识点
用待定系数法确定二次函数解析式．
例：根据下列条件，求出二次函数的解析式。
（1）抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（0，1），（1，3），（－1，1）三点。
（2）抛物线顶点P（－1，－8），且过点A（0，－6）。
（3）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过（3，0），（2，－3）两点，并且以x＝1为对称轴。
（4）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过一次函数y＝－3/2x＋3的图象与x轴、y轴的交点；且过（1，1），求这个二次函数解析式，并把它化为y＝a（x－h）2＋k的形式。
学生活动：学生小组讨论，题目中的.四个小题应选择什么样的函数解析式？并让学生阐述解题方法。
教师归纳：二次函数解析式常用的有三种形式：（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
（2）顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0）（3）两根式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）
当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。
当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a（x－h）2＋k形式。
当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a（x－x1）（x－x2）
强化练习：已知二次函数的图象过点A（1，0）和B（2，1），且与y轴交点纵坐标为m。
（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；
（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围。
二、知识点串联，综合应用
例：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（－1，0），且经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交
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—、结构分析10年没有变化
试卷考试时间100分钟，总分120分.一、选择题1----8题（8x3=24分）；二、填空题9----15（7x3=21分）；三、解答题16---23（16题8分，17题9分，18题9分，19题9分，20题9分，21题10分，22题10分，23题11分，满分75分）
二、试卷分值知识点分布
第1题：相反数的意义
第2题：科学计数法
第3题：正方体的三视图：
第4题：二次根式.乘方
第5题：反比例函数，三角形面积
第6题：平均数与方差：
第7题：直角三角形中勾股定理的应用及垂直平分线的性质
第8题：中点坐标的求法及旋转的知识
第9题：零次幂和立方根
第10题：平行四边形的性质、垂直的性质及三角形外角定理
第11题：一元二次方程根的判别式，△=b2-4ac
第12题：概率问题
第13题：待定系数法求二次函数解析式的'方法及已知二次函数解析式求顶点的方法
第14题：扇形的面积、圆的有关知识及等边三角形的面积的计算方法第15题：分类讨论：线段的三等份点及勾股定理应用
第16题：分式的化简求值及分式有意义
第17题：频数分布表，频率分布直方图的应用
第18题：圆三角形四边形平行线三角形全等的综合应用
第19题：解直角三角形辅助性锐角三角函数的应用
第20题：二元一次方程组一次函数的综合应用
第21题：函数的最值增减性图象对称性等合理性绝对值在方程中的应用第22题：观察论证应用拓展理解与创新能力
第23题：二次函数待定系数法直角三角形锐角三角函数三角形相似性点的坐标的位置分类讨论等的综合应用
三综合评价
试题紧扣教材，体现了新课标的理念和基本要求，尤其在过程与方法上考查的力度较大。对于基础知识和基本技能也有足够的题量，题型适当，难易分化明显。突出了对考生分析问题、解决问题能力的考查.
四教学方法的改革法
1、加强基础知识的教学，尤其是注重数学概念的复习，如绝对值、正余弦、正切的定义。
2、对几何图形的复习，已知条件和所求结论之间的联系，通过中间量寻求证明思路。圆三角形四边形之间联系
3、加强运算能力的培养，提高运算能力。
4、重视建模思想、分类讨论思想的教学。尤其是综合题基本上都有固定的模式解决，教给学生解题思路。
5、重视实际应用问题与数学知识的联系。
6、注重解题的规范性，教给学生解题策略。平时养成认真审题的习惯，合理安排解题时间，对于不会做的题目要敢于“放弃”,保证会做的题不失一分。
7、重视学生良好习惯的培养如认真审题的习惯、规范答题、认真书写的习惯、快速答题又细心的习惯。
8、注重习惯思考与创新能力的培养
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这次数学试卷检测的范围应该说内容是非常全面的，难易也适度，比较能如实反映出学生的实际数学知识的掌握情况。而从考试成绩来看，基本达到了预期的目标。
一、从卷面看，大致可以分为两大类
第一类是基础知识，通过填空、判断、选择、口算、列竖式计算和画图以及操作题的检测。
第二类是综合应用，主要是考应用实践题。无论是试题的类型，还是试题的表达方式，都可以看出出卷老师的别具匠心的独到的眼光。试卷能从检测学生的学习能力入手，细致、灵活地来抽测每册的数学知识。打破了学生的习惯思维，能测试学生思维的多角度性和灵活性。
二、学生的基本检测情况如下：
总体来看，学生都能在检测中发挥出自己的实际水平，合格率都在96%以上，优秀率在55%左右。
1、在基本知识中，填空的情况基本较好。应该说题目类型非常好，而且学生在先前也已练习过，因此正确较高，这也说明学生初步建立了数感，对数的领悟、理解能力有了一定的发展，学生良好思维的培养就在于做像这样的数学题，改变以往的题目类型，让学生的思维很好的调动起来，而学生缺少的就是这个，以致失分严重。
2、此次计算题的考试，除了一贯有的口算、递等式计算以外，最要的是多了学生自主编题、用不同方法计算的题型，通过本次测验，我认识到学生的计算习惯真的要好好培养。
3、对于应用题，培养学生的读题能力很关键。自己读懂题意，分析题意在现在来看是一种不可或缺的能力，很多学生因为缺少这种能力而在自己明明会做的题上失了分，太可惜了。
4、还有平时应该多让学生动手操作，从自己的操作中学会灵活运用知识。这方面有一定的差距。
三、今后的教学建议
从试卷的`方向来看，我认为今后在教学中可以从以下几个方面来改进：
1、立足于教材，扎根于生活。教材是我们的教学之本，在教学中，我们既要以教材为本，扎扎实实地渗透教材的重点、难点，不忽视有些自己以为无关紧要的知识；又要在教材的基础上，紧密联系生活，让学生多了解生活中的数学，用数学解决生活的问题。
2、教学中要重在凸现学生的学习过程，培养学生的分析能力。在平时的教学中，作为教师应尽可能地为学生提供学习材料，创造自主学习的机会。尤其是在应用题的教学中，要让学生的思维得到充分的展示，让他们自己来分析题目，设计解题的策略，多做分析和编题等训练，让有的学生从“怕”应用题到喜欢应用题。
3、多做多练，切实培养和提高学生的计算能力。要学生说题目的算理，也许不一定会错，但有时他们是凭自己的直觉做题，不讲道理，不想原因。这点可以从试卷上很清晰地反映出来。学生排除计算干扰的本领……
4、关注生活，培养实践能力加强教学内容和学生生活的联系，让数学从生活中来，到生活中去是数学课程改革的重要内容。多做一些与生活有关联的题目，把学生的学习真正引向生活、引向社会，从而有效地培养学生解决问题的能力。
5、关注过程，引导探究创新。数学教学不仅要使学生获得基础知识和基本技能，而且要着力引导学生进行自主探索，培养自觉发现新知、发现规律的能力。这样既能使学生对知识有深层次的理解，又能让学生在探索的过程中学会探索的科学方法。让学生的学习不仅知其然，还知其所以然。
综观整体，这次数学试卷能充分体现以学生为主体的新的教学理念，使每一个学生都能在不断获得成功乐趣的同时，唤起对学习的兴趣和人生的自信。
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一、试卷特点
1.注意考察学生的综合能力的运用，具有一定的灵活性。
2.注重数学知识与实际相联系，即理论联系实际，具有创新意识。
二、学生答题分析
1、填空题：
填空题基本体现基础知识和基本技能。除第8题外，其它7道题得分率还是比较高的`。
丢分多的是第8题
失分原因：
（1）本题需要学生估算到小数点后第三位，如果用计算器孩子还是能算出来的，但中招不让用计算器，所以平时考试也不让用计算器，孩子计算能力还没达到试题要求。
（2）算术平方根的估算新课标要求估算到十分位，本题需估算到千分位。
2、选择题：
难易程度适中。
丢分多的是第14题、16题
失分原因：
（1）14题是一道数形结合问题，初二学学生学习函数就是一个难点，对于数形结合还有待突破。
（2）16题，新教材删去了这部分内容，没了这种说法，虽集体备课时我们都拓展到了，但学生掌握还是不牢固。
三、解答题
17题60%以上的学生三角形全等还是比较熟练的，基本方法掌握很好，其他学生对两次全等还是被两次全等搞晕了。还需要加强基本方法，基本能力的训练。
18、19题是很好的一个题目，综合性较强，但不偏不怪，既能考查学生基本技能，又能考查学生基础知识掌握和知识的灵活性。但有部分学生在18题第2问中，由于审题不清，只说明了位置关系或者是数量关系，导致本题也有相当一部分同学没得到满分。
20、21题对初二学生来说确实是个挑战，有30位同学20题得到满意分，有40%学和21题得到满分。
22、23题注重数学知识与实际相联系，具有创新意识，符合新课标的要求。同学们也很喜欢这类问题，得分率也经较高。
四、试题意见
1.注重数学知识与实际相联系，即理论联系实际，具有创新意识。
2.填空第8题、选择16题、20题、21题超出了课标对四年制初二学生的要求。
3.初二下学期才能学到严格意义上的证明，17、19题不应有求证这个词。
4.试卷层次不明显，导致学生安排答题时间时有一定困难。最好把22、23两题放在20、21题之前，把20题做为压轴题，这样更符合初二学生考试特点。
5、 初二下学期教材内容，才学到了《平行线的有关证明》、《三角形的有关证明》，20题显然有点拔高新课标对初二上学期学生的要求。
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一、考试结果：
本次考试，全班优秀率是95%，及格率为100%。
二、对试卷的总体分析：
总体而言，该试卷知识覆盖面较广，贴近学生生活，既考查了学生的计算，又检测了学生对已学知识掌握的情况。题量适中，难易适度。依据课标，尊重教材。
本次考试有五大题型，有基础知识的考核和计算能力的考核。基础知识的考核内容较为全面，包括数数，计算，认字，题目有一定的灵活性。看图写算式的考核是根据课改精神设计的，主要考查学生独立想象和知识延伸的能力。
我对全班的试卷进行了认真的分析统计，下面就试卷呈现的方式分两部分对该卷及学生的答题情况进行具体的分析。
（一） 基础知识部分
绝大部分学生的基础知识掌握得比较好。尤其是第一、二、三、四题，正确率较高。但是，有一小部分学生还存在着一些问题。 第一题，算一算，也有粗心的学生计算错误。
第二题，填一填，学生完成情况还不错，但是再找规律画图这一题有个别学生出现错误。
第三题，选一选。平时经常练习读，说相邻间数字、几个数中最大的'数和最小的数分别是什么，所以学生完成的很好。
第四题，看图列算式。这一部分在平时的练习中经常涉及到，所以这部分无丢分现象。
第五题，解决问题。在你还能提出什么问题吗？这一部分上学生解决有困难。
三、改进措施：
1、教学中应有意识的培养学生准确快速计算的能力和解决问题的能力，课堂上应多注意启发学生多思考。
2、重视汉字认识的积累，增大阅读量，提高说话、写话的能力。
3、在每节课教学中，我要帮助学生养成答卷时不专心，答完后没有仔细检查的学习习惯。
4、课堂上要紧扣教学目标，加强每堂课的作业练习设计。
⒌、还应加强学困生的辅导工作。
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一、勾股定理
1、勾股定理
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c有这种关系，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数
满足的三个正整数，称为勾股数。
常见的勾股数组有：(3，4，5);(5，12，13);(8，15，17);(7，24，25);(20，21，29);(9，40，41);……(这些勾股数组的倍数仍是勾股数)。
二、证明
1、对事情作出判断的句子，就叫做命题。即：命题是判断一件事情的句子。
2、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。
(1)证明三角形内角和定理的思路是将原三角形中的三个角凑到一起组成一个平角。一般需要作辅助。
(2)三角形的外角与它相邻的内角是互为补角。
3、三角形的外角与它不相邻的内角关系
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4、证明一个命题是真命题的基本步骤
(1)根据题意，画出图形。
(2)根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证。
(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。在证明时需注意：①在一般情况下，分析的过程不要求写出来。②证明中的每一步推理都要有根据。如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行。
三、数据的分析
1、平均数
①一般地，对于n个数x1x2、、、xn，我们把(x1+x2+???+xn)叫做这n个数的算数平均数，简称平均数记为。
②在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而在计算，这组数据的平均数时，往往给每个数据一个权，叫做加权平均数。
2、中位数与众数
①中位数：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。
②一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
③平均数、中位数和众数都是描述数据集中趋势的统计量。
④计算平均数时，所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息，因此在现实生活中较为常用，但他容易受极端值影响。
⑤中位数的优点是计算简单，受极端值影响较小，但不能充分利用所有数据的信息。
⑥各个数据重复次数大致相等时，众数往往没有特别意义。
3、从统计图分析数据的集中趋势
4、数据的离散程度
①实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况。一组数据中数据与最小数据的差，(称为极差)，就是刻画数据离散程度的一个统计量。
②数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差刻画。
③方差是各个数据与平均数差的平方的平均数。
④其中是x1，x2、、、、、xn平均数，s2是方差，而标准差就是方差的算术平方根。
⑤一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定。
三角形知识概念
1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
7、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
8、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
9、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
10、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
11、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。
12、平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
13、公式与性质：
(1)三角形的内角和：三角形的内角和为180°
(2)三角形外角的性质：
性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
(3)多边形内角和公式：边形的内角和等于?180°
(4)多边形的外角和：多边形的外角和为360°
(5)多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形。②边形共有条对角线。
位置与坐标
1、确定位置
在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。
2、平面直角坐标系
①含义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
②通常地，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做x轴或者横轴，竖直的数轴叫y轴和纵轴，二者统称为坐标轴，它们的公共原点o被称为直角坐标系的原点。
③建立了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一组有序实数对来表示。
④在平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了四部分，右上方的部分叫第一象限，其他三部分按逆时针方向叫做第二象限，第三象限，第四象限，坐标轴上的点不在任何一个象限。
⑤在直角坐标系中，对于平面上任意一点，都有的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上的一点与它对应。
3、轴对称与坐标变化
关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数;关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。
解一元一次方程
1、等式与等量:用"="号连接而成的式子叫等式、注意:"等量就能代入"!
2、等式的性质:
等式性质1:等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式;
等式性质2:等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,所得结果仍是等式、
3、方程:含未知数的等式,叫方程、
4、方程的解:使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解;注意:"方程的解就能代入"!
5、移项:改变符号后,把方程的项从一边移到另一边叫移项、移项的依据是等式性质1、
6、一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程、
7、一元一次方程的标准形式:ax+b=0(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0)、
8、一元一次方程的最简形式:ax=b(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0)、
9、一元一次方程解法的一般步骤:整理方程……去分母……去括号……移项……合并同类项……系数化为1……(检验方程的解)、
10、列一元一次方程解应用题:
(1)读题分析法:…………多用于"和,差,倍,分问题"
仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:"大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套-----",利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程、
(2)画图分析法:…………多用于"行程问题"
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础。
统计的初步认识
1、折线统计图的特点：能获取数据变化情况的信息，并进行简单的预测。
2、折线统计图的方法：在方格纸中，根据所给出的数据把点标出来，再用线将点连接起来，要顺次连接。
3、能够看出折线统计图所提供的信息，并回答相关的问题。
补充内容：
1、条形统计图与折线统计图的不同：条形统计图用直条表示数量的多少，折线统计图用折线表示数量的增减变化情况。
2、初步了解复式折线统计图，能够从中获得相应的信息，回答提出的问题。
课后练习
1、统计学的基本涵义是(D)。
A、统计资料
B、统计数字
C、统计活动
D、是一门处理数据的方法和技术的科学，也可以说统计学是一门研究“数据”的科学，任务是如何有效地收集、整理和分析这些数据，探索数据内在的数量规律性，对所观察的现象做出推断或预测，直到为采取决策提供依据。
2、要了解某一地区国有工业企业的生产经营情况，则统计总体是(B)。
A、每一个国有工业企业
B、该地区的所有国有工业企业
C、该地区的所有国有工业企业的生产经营情况
D、每一个企业
3、要了解20个学生的学习情况，则总体单位是(C)。
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应总结（65iN.COM）热搜同款:
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A、20个学生
B、20个学生的学习情况
C、每一个学生
D、每一个学生的学习情况
4、下列各项中属于数量标志的是(B)。
A、性别
B、年龄
C、职称
D、健康状况
5、总体和总体单位不是固定不变的，由于研究目的改变(A)。
A、总体单位有可能变换为总体，总体也有可能变换为总体单位
B、总体只能变换为总体单位，总体单位不能变换为总体
C、总体单位不能变换为总体，总体也不能变换为总体单位
D、任何一对总体和总体单位都可以互相变换
6、以下岗职工为总体，观察下岗职工的性别构成，此时的标志是(C)。
A、男性职工人数
B、女性职工人数
C、下岗职工的性别
D、性别构成
抽样调查
(1)调查样本是按随机的原则抽取的，在总体中每一个单位被抽取的机会是均等的，因此，能够保证被抽中的单位在总体中的均匀分布，不致出现倾向性误差，代表性强。
(2)是以抽取的全部样本单位作为一个“代表团”，用整个“代表团”来代表总体。而不是用随意挑选的个别单位代表总体。
(3)所抽选的调查样本数量，是根据调查误差的要求，经过科学的计算确定的，在调查样本的数量上有可靠的保证。
(4)抽样调查的误差，是在调查前就可以根据调查样本数量和总体中各单位之间的差异程度进行计算，并控制在允许范围以内，调查结果的准确程度较高。
课后练习
1、抽样成数是一个(A)
A、结构相对数B、比例相对数C、比较相对数D、强度相对数
2、成数和成数方差的关系是(C)
A、成数越接近于0,成数方差越大B、成数越接近于1,成数方差越大
C、成数越接近于0、5,成数方差越大D、成数越接近于0、25,成数方差越大
3、整群抽样是对被抽中的群作全面调查,所以整群抽样是(B)
A、全面调查B、非全面调查C、一次性调查D、经常性调查
4、对400名大学生抽取19%进行不重复抽样调查,其中优等生比重为20%,概率保证程度为95、45%,则优等生比重的极限抽样误差为(A)
A、40%B、4、13%C、9、18%D、8、26%
5、根据5%抽样资料表明,甲产品合格率为60%,乙产品合格率为80%,在抽样产品数相等的条件下,合格率的抽样误差是(B)
A、甲产品大B、乙产品大C、相等D、无法判断
数学学习方法
注意习惯的养成
比如遇到问题基本上不思考就直接寻求帮助、做题时总是心不在焉抠手玩笔、每次检查作业的任务都交给家长完成，这些习惯不仅不容易改正，往往还容易由于家长的原因而愈发严重。对于一个初中生来说，遇到数学问题独立思考、学习时拥有一定的自律能力、能够检查自己犯下的错误这些能力是重要而且必须的，这不仅需要孩子的努力，更需要家长的配合和支持。
高效听课
1、有准备的去听，也就是说听课前要先预习，找出不懂的知识、发现问题，带着知识点和问题去听数学课会有解惑的快乐，也更听得进去，容易掌握;
2、参与交流和互动，不要只是把自己摆在“听”的旁观者，而是“听”的参与者，积极思考老师讲的或提出的问题，能回答的时候积极回答(回答数学问题的好处不仅仅是表现，更多的是可以让你注意力更集中)。
3、听要结合写和思考。纯粹的听很容易懈怠，能记住的点也很少，所以一定要学会快速的整理记忆。
多项式定义
在数学中，多项式是指由变量、系数以及它们之间的加、减、乘、幂运算(非负整数次方)得到的表达式。
对于比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。按这个定义，多项式就是整式。实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。0作为多项式时，次数定义为负无穷大(或0)。单项式和多项式统称为整式。
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1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
(1)解析法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
(2)列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
(3)图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
(3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
初中怎样学好数学
学好初中数学培养运算能力
初中数学涉及到大量的运算内容，比如有理数的运算、因式分解、根式的运算和解方程，这些都是初中数学涉及到的知识内容，如果初中生数学运算能力不过关，那么成绩怎么能提高呢?所以运算是学好初中数学的基本功，这个基本功一定要扎实，不然以后的初中数学就可以不用学习了。
初中生在解答运算题的时候，不要急躁，静下心来。初中数学运算的过程是很重要的，这也是初中生对于数学逻辑和思维的培养过程，结果要准确;同时初中生还有要绝对的自信，不要求速度可以慢一点的，尽量一次做对。
学好初中数学做题的数量不能少
不可否认，想要学好初中数学，就要做一定量的数学题。不赞同大量的刷题，那样没有什么意义。初中生做数学题主要是以基础题的练习为主，将初中数学的基础题弄懂的同时，反复的做一些比较典型的题，这样才是初中生正确的学习数学方式。
在初中阶段，学生要锻炼自己数学的抽象思维能力，最好的结果是在不用书写的情况下，就能够得到正确的答案，这也就是我们常说的熟能生巧。同时也是初中生数学基础知识牢固的体现。相反的，有的初中生在做练习题的.时候，比较盲目和急躁，这样的结果就是粗心大意，马虎出错。
课上重视听讲课下及时复习
初中生数学能力的培养一部分在于平时做题的过程中，另一部分就在课堂上。所以初中生想要学好数学，就要重视课内的学习效率，在课上的时候要跟紧老师的思路，大胆的推测老师下一步讲课的知识，尤其是基础知识的学习。在课后初中生还要对学习的数学知识点及时复习。对于每个阶段初中数学的学习要进行知识点归纳和整理。
初中数学多项式知识点
1、几个单项式的和叫做多项式。
2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
3、多项式中不含字母的项叫做常数项。
4、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5、多项式的每一项都包括项前面的符号。
6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。
7、多项式中次数的项的次数，叫做这个多项式的次数。
⬔ 二次函数综合题解题思路 ⬔
《反比例函数》知识点整理
1、定义：形如y=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
2、其他形式xy=k（k为常数，k≠0）都是。
3、图像：反比例函数的图像属于双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和y=—x。对称中心是：原点。
4、性质：当k>0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小。
当k<0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。
5、|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴
所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
勾股定理
1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
2、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。
3、经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
四边形
平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等。
平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形的判定
1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2、对角线互相平分的四边形是平行四边形；
3、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
矩形的性质：矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线平分且相等。AC=BD
矩形判定定理：
1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、对角线相等的平行四边形是矩形。
3、有三个角是直角的四边形是矩形。
菱形的定义：邻边相等的平行四边形。
菱形的性质：菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的判定定理：
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3、四条边相等的四边形是菱形。
S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）
正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。正方形既是矩形，又是菱形。
正方形判定定理：1、邻边相等的矩形是正方形。 2、有一个角是直角的菱形是正方形。
梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形
等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。
等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；
等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
解梯形问题常用的辅助线：如图
线段的重心就是线段的中点。平行四边形的重心是它的两条对角线的交点。三角形的三条中线交于疑点，这一点就是三角形的重心。宽和长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。
数据的分析
1、算术平均数：
2、加权平均数：加权平均数的计算公式。
权的理解：反映了某个数据在整个数据中的重要程度。
而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。
3、将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数（median）；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
4、一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode）。
5、一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差（range）。
6、方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。
数据的收集与整理的步骤：1、收集数据2、整理数据3、描述数据4、分析数据5、撰写调查报告6、交流
7、平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响，这是一个优势，中位数的计算很少不受极端值的影响。
数学学习中常见问题分析
大部分初二学生在学习中或多或少的都会积累一些问题，这些问题平时我们可能不是很在意，那么到了初二后就会突显出来。首先初二新生在学习数学的时候常遇到的就是对于知识点的理解不到位，还停留在一知半解的层次上面。有的初二学生在解答数学题的时候始终不能把握解题技巧，也就是说初二学生缺乏对待数学的举一反三能力。
还有的初二学生在解答数学题时效率太低，无法再规定的时间内完成解题，对于初中的考试节奏还没办法适应。一些初二学生还没有养成一个总结归纳的习惯，不会归纳知识点，不会归纳错题。这些都是导致初二学生学不好数学的原因。
数学学习技巧
1、做好预习：
单元预习时粗读，了解近阶段的学习内容，课时预习时细读，注重知识的形成过程，对难以理解的概念、公式和法则等要做好记录，以便带着问题听课。
2、认真听课：
听课应包括听、思、记三个方面。听，听知识形成的来龙去脉，听重点和难点，听例题的解法和要求。思，一是要善于联想、类比和归纳，二是要敢于质疑，提出问题。记，指课堂笔记——记方法，记疑点，记要求，记注意点。
3、认真解题：
课堂练习是最及时最直接的反馈，一定不能错过。不要急于完成作业，要先看看你的笔记本，回顾学习内容，加深理解，强化记忆。
4、及时纠错：
课堂练习、作业、检测，反馈后要及时查阅，分析错题的原因，必要时强化相关计算的训练。不明白的问题要及时向同学和老师请教了，不能将问题处于悬而未解的状态，养成今日事今日毕的好习惯。
⬔ 二次函数综合题解题思路 ⬔
俗语说的好“好钢用在刀刃上”，比喻做事情要注意重点和要点，在关键的地方使劲，往往达到理想的效果。在考研数学的复习当中也要注意这一点。经常有学生遇到这样的情况，在考研数学复习的初期阶段，本着全面复习的态度认认真真、从头到尾地对每一个考点进行细致的复习，按照高等数学、线性代数、概率论的顺序进行复习。可是，当复习线性代数的时候发现高等数学的部分内容淡忘了，复习概率论的时候又发现线性代数的部分内容记不清了，这样经过几个月的一轮的复习，最后发现留在自己脑中的知识点的已经很有限了。这是为什么呢？如何避免这种情况呢？
人的记忆效果随着时间的推移而迅速下降，这是正常的现象。一是可以通过反复加强记忆，第二种办法就是加强要点和重点的作用，提纲挈领，从而掌握全局。因此，建议大家在第一轮全面复习的时候同时要兼顾复习要点，让要点成为复习中的“刀刃”，起到提纲挈领、统领全局的作用。
那么，考研数学复习中的“刀刃”都有哪些呢？下面说明复习高等数学一科的“刀刃”之处。
高等数学
高等数学是考研数学的重中之重，备考高等数学要特别注意以下三个方面。
一、 按照大纲对数学基本概念、基本方法、基本定理准确把握。
数学是一门演绎的科学，靠侥幸押题是行不通的。只有对基本概念有深入理解，牢牢掌握基本定理和公式，才能找到解题的突破口和切入点。分析近几年考生的数学答卷可以发现，考生失分的一个重要原因就是对基本概念、定理理解不准确，数学中最基本的方法掌握不好，给解题带来思维上的困难。数学的概念和定理是组成数学试题的基本元件，数学思维过程离不开数学概念和定理，因此，正确理解和掌握好数学概念、定理和方法是取得好成绩的基础和前提。
二、要加强解综合性试题和应用题能力的训练，力求在解题思路上有所突破。
综合题的考查内容可以是同一学科的不同章节，也可以是不同学科的。近几年试卷中常见的综合题有：级数与积分的综合题；微积分与微分方程的综合题；求极限的综合题；空间解析几何与多元函数微分的综合题；线性代数与空间解析几何的综合题；以及微积分与微分方程在几何上、物理上、经济上的应用题等等。在解综合题时，迅速地找到解题的切入点是关键一步，为此需要熟悉规范的解题思路。
三、重视历年试题的强化训练。
统计表明，每年的研究生入学考试高等数学内容较之前几年都有较大的重复率，近年试题与往年考题雷同的占50%左右，这些考题或者改变某一数字，或改变一种说法，但解题的思路和所用到的知识点几乎一样。所以希望考生要注意年年被考到的内容，对往年考题要全部消化巩固。这样，通过对考研的试题类型、特点、思路进行系统的归纳总结，并做一定数量习题，有意识地重点解决解题思路问题。对于那些具有很强的典型性、灵活性、启发性和综合性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。尽管试题千变万化，但其知识结构基本相同，题型相对固定。要特别注意以题型为思路归纳总结。
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在考研队伍中，每一年都有这样一部分选择跨专业考研的考生，这样不可避免的遇到了自己以前没有系统学习过的数学。像英语专业、法律专业、中文等专业的考生如果选择经济管理类的专业的话，就要重头对数学进行一个系统的学习，才能保证考研成功。对于零数学基础，或者数学基础薄弱的考生来说，如何走好考研这条关键路呢？我们考研数学教研室李老师认为，只要同学们端正心态，将基础知识打牢固，考研是没有问题的。
一、端正心态，树立信心，左右权衡，正确选择
基础薄弱的考生复习考研，最关键的是信心和毅力问题。很多人因为基础不好，学习起来有难度，就怕自己考不上，遇到困难就退缩，没有长期坚持下去的毅力，这些是考研路上的大敌。所以前期的专业选择还是非常重要的，有兴趣才会坚持，坚持才会看到希望。
考研数学包括三个部分内容：高等数学、线性代数、概率论与数理统计，各个部分的要求内容又各不相同，函数、行列式、数理统计等名词可能让你“乱 花渐欲迷人眼”。 李老师分析，根据历年考研数学试题注重考查考生灵活掌握概念的程度和计算的熟练程度，这也给数学基础薄弱的考生增加了一定的难度。所以，李老师建议考生，要对自己有一个全面的衡量，重点思考一下自己所选择的专业是否适合自己，有没有兴趣和动力去学习和考研，如果回答是肯定的话，那么就不要害怕数学的难度，勇敢地去复习吧！
二、打好基础 数学其实并不难
对于数学基础薄弱的考生来说，将数学基础牢牢把握，重视基础概念、定理、原理、命题等。入门是比较困难，但是只要入了门，后面的复习自然水到渠成。如果考研学子感觉初期无法进入状态，建议大家可以报一个辅导班，根据老师一点点学习，领悟用法。
同时，李老师在此为同学们解读考研数学各科特点并指导复习的重难点：
高等数学：高等数学的在考研数学中所占比重高，是三门课程中最为重要的一科，在学习高数的过程中，要注意每种题型的训练，重点是总结，把在基础阶段不懂的知识点，强化记忆，然后系统地梳理知识点。建议考生认真研读大纲要求，在复习的过程中明确考试重点，充分把握重点。
高数第一章不定式的极限，同学们要充分掌握求不定式极限的各种方法，比如利用极限的四则运算、两个重要极限、洛必达法则等等，还要总结求极限过程中常用到的转化、化简的方法。对函数的连续性的探讨也是考试的重点，这要求考生要充分理解函数连续的定义和掌握判断连续性的方法。对于导数和微分，其实 重点不是给一个函数求导数，而是导数的定义，也就是抽象函数的可导性，理清连续、可导、可微之间的关系，分清一元与多元的异同。对于积分部分，定积分、分段函数的积分、带绝对值的函数的积分等各种积分的求法都是重要的题型，在求积分的过程中，一定要注意积分的对称性，利用分段积分去掉绝对值把积分求出来。 中值定理一般每年都要考一个题的，多看看以往考试题型，研究一下考试规律。对于微分部分，隐函数的求导，复合函数的偏导数等是考试的重点。二重积分的计算，当然数学一里面还包括了三重积分，掌握积分区域具有可加性、二重积分对称性的应用、二重积分直角坐标和极坐标的变换、二重积分转换成累次积分计算这些 知识点。另外还有曲线和曲面积分，这是数一必考的重点内容。一阶微分方程，掌握几个教材中的几种类型的求解就可以了。还有无穷级数，要掌握判别敛散性、幂级数的展开和求和常用的方法和技巧。
线性代数：线性代数考试题型不多，计算方法比较初等，但是往往计算量比较大，导致很多考生对线性代数感到棘手。从理论的角度出发，线性代数的很多概念和性质之间的联系很多，特别要根据每年线性代数的'两道大题考试内容，找出所涉及到的概念与方法之间的联系与区别。例如向量组的秩与矩阵的秩之间的联 系，向量的线性相关性与齐次方程组是否有非零解之间的联系，向量的线性表示与非齐次线性方程组解的讨论之间的联系，实对称阵的对角化与实二次型化标准形之间的联系等。掌握他们之间的联系与区别，对做线性代数的两个大题在解题思路和方法上会有很大的帮助。
复习过程中，综合掌握“一条主线，两种运算，三个工具”。一条主线是解线性方程组，两种运算是求行列式、矩阵的初等行(列)变换，三个工具是行 列式、矩阵、向量。其中，向量组线性相关性是难点，要理解记忆各条定理，理清其中关系，多做题巩固知识点。特征向量与二次型虽不难，但年年必考，计算能力要跟上，多做题才能提高正确率。
概率论与数理统计：概率论与数理统计课程的主要特点是概念和公式繁多，章节的关系松散，应用题比较抽象，所以复习时要注重这些概念的理解。
第一、二章是基础，很少单独命题，经常结合后面的章节进行考察，但这两章要深刻理解，只有这部分内容透彻理解后面的内容才能容易掌握。概率部分要重点掌握的是二维随机变量的概率分布、边缘分布、条件分布、独立性等概念，要把定义和对应计算公式掌握的很熟练。另外，数学期望、方差、协方差、相关系数等数字特征的概念及计算公式也要重点复习，因为这几个概念是每年必考，并且主要考计算。最后，这部分难点是多维随机变量的函数的分布。这个考点最近几年每年必考，并且主要以大题的形式出现。虽然是难点，但是方法还是比较固定的，掌握每种题型的方法即可。大数定律和中心极限定理不是考试的重点，考纲要求是了解，所以只要掌握定理的条件和结论。数理统计部分主要围绕三大统计量分布，点估计是这部分内容的重难点，经常会考解答题。统计量的评选标准中的无偏估计要重点复习， 有效性和相合性了解即可。区间估计和假设检验这么多年考的比较少，所以也是了解一下，找几个小题做一下就行了。
⬔ 二次函数综合题解题思路 ⬔
1、拓实基础，强化通性通法
对基础的考查既全面又突出重点。抓基础就是要重视对教材的，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的。
2、认真阅读说明，减少无用功
在平时练习或进行模拟考试时，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。
3、抓住重点内容，注重培养
数学主体内容是支撑整个数学最重要的部分，也是进入必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的 高中地理。象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。
4、关心动态，注意题型变化
由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复习与训练。一定要用新的教学理念进行数学教学与复习，
5、细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误
计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力。可以说是学好数学的两种最基本能力，在数学中的考查无处不在。并且在每年的阅卷中因为这两种能力不好而造成的失分占有相当的比例。
⬔ 二次函数综合题解题思路 ⬔
1.函数的基本概念
(1)函数的定义：设a、b是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：a→b为从集合a到集合b的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈a。
2.映射的概念
一般地，设a、b是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个元素x，在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：a→b为从集合a到集合b的一个映射。
3.分段函数与复合函数
①如果一个函数在定义域的不同子集中 因 对应关系 不同而用几个不同的式子来表示，这样的函数叫做分段函数.分段函数的求法是分别求出 解析式 再组合在一起，但要注意各区间之间的点不重复、无遗漏。
②如果y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f［g(x)］叫做复合函数，其中f(u)叫做外层 函数，g(x)叫做 内层 函数。
⬔ 二次函数综合题解题思路 ⬔
一般地，函数y=logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。
(2)对数函数的值域为全部实数集合。
(3)函数总是通过(1，0)这点。
(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
(5)显然对数函数无界。
⬔ 二次函数综合题解题思路 ⬔
1、函数：
设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B={f(x)∣x∈A }叫做函数的值域。
2、函数定义域的解题思路：
⑴若x处于分母位置，则分母x不能为0。
⑵偶次方根的`被开方数不小于0。
⑶对数式的真数必须大于0。
⑷指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。
⑸指数为0时，底数不得为0。
⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。
⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。
3、相同函数
⑴表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。
⑵定义域一致，对应法则一致。
4、函数值域的求法
⑴观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。
⑵图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。
⑶配方法：主要用于二次函数，配方成y=(x-a)2+b的形式。
⑷代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。
5、函数图像的变换
⑴平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。
⑵伸缩变换：在x前加上系数。
⑶对称变换：高中阶段不作要求。
6、映射：
设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射。
⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。
⑵集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。
⑶不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
7、分段函数
⑴在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。
⑵各部分自变量和函数值的取值范围不同。
⑶分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。
8、复合函数：
如果(u∈M)，u=g(x) (x∈A),则，y=f[g(x)]=F(x) (x∈A)，称为f、g的复合函数。
⬔ 二次函数综合题解题思路 ⬔
十七世纪函数概念
十七世纪伽俐略(G.Galileo，意，1564-1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1637年前后笛卡尔(Descartes，法，1596-1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。
1673年，莱布尼兹首次使用function(函数)表示幂，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用流量来表示变量间的关系。
十八世纪函数概念
1718年约翰柏努利(JohannBernoulli，瑞士，1667-1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量。他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。1748年，柏努利的学生欧拉在《无穷分析引论》一书中说：一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。
1755，欧拉(L.Euler，瑞士，1707-1783)把函数定义为如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。
18世纪中叶欧拉(L.Euler，瑞士，1707-1783)给出了定义：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了随意函数。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
十九世纪函数概念
1821年，柯西(Cauchy，法，1789-1857)从定义变量起给出了定义：在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。
1822年傅里叶(Fourier，法国，17681830)发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。
1837年狄利克雷(Dirichlet，德国，1805-1859)突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数。这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。
等到康托(Cantor，德国，1845-1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880-1960)用集合和对应的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了变量是数的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。
现代函数概念
1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)在《集合论纲要》中用不明确的概念序偶来定义函数，其避开了意义不明确的变量、对应概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义序偶使豪斯道夫的定义很严谨了。
1930年新的现代函数定义为若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。
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